יחידה 0: התפלגות t   >>  0.2: דרגות חופש

דרגות חופש

, דרגות חופש: מספר האיברים החופשיים לחישוב סטטיסטי מסוים.

דרגות החופש שוות למספר הנבדקים פחות מספר הפרמטרים עליהם מבוסס הסטטיסטי. כך בחישוב סטיית התקן דרגות החופש שוות ל- n-1, זאת מכיוון שכאשר מחשבים את סטיית התקן, החישוב מבוסס על הממוצע.

אם נחשוב על התרומה של כל נבדק ונבדק לחישוב סטיית התקן, כל נבדק תורם לנו את הפער שבין הציון שלו לבין הממוצע. כל נבדק (איבר) חפשי לתרום כל ערך אפשרי, פרט לנבדק האחרון אשר ערכו נקבע על ידי קודמיו. זאת כיוון שלפי תכונת הממוצע,סכום המרחקים מהממוצע הוא אפס לכן התרומה של הנבדק האחרון אינה חופשית אלא שצריכה "לאזן" את כל יתר התרומות כך שהסכום שלהם יהיה שווה ל-0. כך אנו "מאבדים דרגת חופש אחת".

מכיוון ש-  הוא אומד בלתי מוטה ל- , אם סטיית התקן של האוכלוסייה אינה ידועה ניתן להשתמש באומדן שלה: .

אם כבר חישבנו את  אזי ניתן פשוט להכפיל ערך זה ב- , ולקבל: , כי

האומד הבלתי מוטה תמיד גדול מסטיית התקן שבמדגם.

ההשפעה לתיקון שאנו מבצעים בכדי להמיר את סטיית התקן מהמדגם לאומד תהיה גדולה יותר ככל שגודל המדגם (n) יהיה קטן יותר.

מעתה כשנכתוב S נתכוון למצב של שורש חלוקת סכום ריבועי המרחקים מהממוצע (מונה נוסחת השונות) ב-n-1 לעומת  שבו יש חלוקה ב- n.

האומדן בו אנו משתמשים גדול יותר מסטיית התקן במדגם מאחר ואנו משתמשים באומדן לסטיית התקן במקום בפרמטר. יש גורם נוסף לטעות. אם לדוגמא סטיית התקן של האוכלוסייה היא 20 אז פעם נאמוד 21, פעם 22, פעם 18 וכו'.

לכן כאשר משתמשים בסטטיסטי לאמוד את הפרמטר אז סטיית התקן של התפלגות הדגימה גדלה בכדי לקחת בחשבון טעות זו.

ההתפלגות הנוצרת כאשר משתמשים באומדן לסטיית התקן היא התפלגות "רחבה" יותר מההתפלגות הנורמאלית המבוססת על פרמטרים בלבד. התפלגות זאת קרויה התפלגות t. כך מתגברים על הטעות שיש לנו בעצם העובדה שאנו מתבססים על אומדן של סטיית התקן ולא משתמשים בפרמטר עצמו.

עכשיו הסטטיסטי שלנו עבור תצפית בודדת יהיה: . בעצם אנו מחשבים ציון תקן לכל ערך בהתפלגות בדומה ל-z אלא שמחלקים ב-  במקום ב- .

t אינו מתפלג נורמלית אלא מתפלג t שהיא התפלגות רחבה יותר כאמור לעיל, בגלל אי ידיעת סטיית התקן.

יתרה מכך, התפלגות t היא בעצם משפחה של התפלגויות כפונקציה של דרגות החופש

(ד"ח, . ככל שמספר התצפיות גדול יותר, כך האומדן שלנו (S) מדויק יותר (קרוב יותר ל-  ) והתפלגות t צרה יותר ושואפת לנורמלית.

הדגמה לתכונות אלו ניתן לראות ביישום זה: שנו את דרגות החופש של התפלגות t ע"י גרירת הסמן.  לחצו על הכפתור מתחת לסמן בכדי להציג התפלגות נורמלית מתוקננת ולראות את ההבדלים בינה לבין התפלגויות t השונות.

בהתפלגות דגימה של ממוצעים, התפלגות הדגימה מתפלגת t עם טעות תקן שונה מ-1.

ממוצע התפלגות הדגימה של האומדנים חסרי ההטיה לשונות האוכלוסייה הוא ה- .

בחישוב ציון התקן של כל ממוצע, במכנה נחליף את ה-  ב- :

סטיית התקן של התפלגות t גדולה מ-1.  סטיית תקן זו שואפת ל-1 ככל ש-n גדל. 

► חזור                    המשך ◄