יחידה 4: המשך הסתברות  >> 4.3: פונקצית הסתברות ותוחלת

פונקצית הסתברות – Probability function

 

זוהי טבלה אשר מסכמת את כל התוצאות האפשריות של ניסוי ואת ההסתברויות של התוצאות הללו.

התוצאות השונות מסומנות  וההסתברויות .

דוגמא:

פונקצית ההסתברות של הטלת קובייה תראה כך:

 

1/6

1

1/6

2

1/6

3

1/6

4

1/6

5

1/6

6

 

דוגמא:

ברולטה 37 מספרים, 18 אדומים, 18 שחורים ו-0 (ירוק). אחת מהאופציות להימור היא על מספר בודד. אם הכדור נופל על המספר הנבחר, השחקן מקבל פי 36 מהסכום שהימר עליו. אם הכדור נופל על מספר אחר, השחקן מאבד את סכום ההימור.

מהי פונקצית ההסתברות של סכום הזכייה?               

 

 (עבור כל שקל)

36-1 = 35

 

-1

 

 

אם השחקן ישחק המוווווווון פעמים, אנו מצפים שבטווח הארוך, עבור כל שקל שהוא מהמר הוא "יקבל"  ש"ח.

דהיינו בטווח הארוך, עבור כל שקל שמהמרים מפסידים 2.7 אגורות.

החישוב שביצענו הוא בעצם תוחלת המשחק.

תוחלת (Expectancy)

 

התוחלת של x מוגדרת כממוצע המשוקלל של התוצאות האפשריות של  x, כאשר משקל כל תוצאה הוא ההסתברות שלה לקרות:

דוגמא:

במשחק מסוים זורקים 2 קוביות. אם יוצא דאבל מרוויחים 6 ₪. אם יוצא 6:6 מרוויחים 12 ₪.עבור כל תוצאה אחרת מפסידים 2 ₪. מהי תוחלת המשחק?

 

פתרון:

12

6

2-

 

בממוצע בכל פעם שמשחקים מפסידים חצי שקל.

משחק שתוחלתו שלילית הוא משחק שבטווח הארוך מפסידים בו.

חוקי סכימה

 

תכונות התוחלת

 

דוגמא:

בלוטו צריכים לנחש 6 מתוך 45 מספרים.

נמציא כמה חוקים:

·         כל משתתף אשר ניחש את כל 6 המספרים מרוויח  3,000,000₪  (אין מתחלקים בפרס).

·         כל משתתף אשר ניחש 5 מספרים מרוויח  10,000₪.

·         מי שלא ניחש אף מספר מרוויח  10₪.

·         שאר המשתתפים אינם מרוויחים דבר.

טופס פשוט עולה 10₪.

מהי תוחלת המשחק?

 

פתרון:

 

3,000,000

10,000

10

0

 

 

4.66 היא תוחלת הרווח.

אבל כדי להשתתף, משלמים 10₪.

דהיינו על כל סכום רווח עלינו להוריד 10₪:

2,999,990

9,990

0

-10

 

תוחלת המשחק היא .  לא היינו צריכים לחשב מחדש כי:

 

 

דוגמא:  ביטוח רכב.

אם ערך הרכב הוא , מחיר הביטוח השנתי הוא .

ההסתברות לגניבה במהלך השנה היא .

האם כדאי לבטח?

 

פתרון:

 

 

נגנב

לא נגנב

 

 

ז"א שלטווח ארוך מפסידים 1.66% מערך המכונית כל שנה.

עבור מכונית ששווה 50,000 ₪, משלמים 2,500 ₪ לשנה, ולטווח הארוך מפסידים 833 ₪ לשנה.

משחק הוגן הוא משחק שתוחלתו שווה ל-0 (או שתוחלת הרווח שווה לתוחלת ההפסד)

דוגמא:  זורקים קובייה.

אם היא נופלת על 1, 2 או 3 מרוויחים 1 ₪.

אם היא נופלת על 4 או 5 מרוויחים 5 ₪.

אם היא נופלת על 6 מרוויחים 35 ₪.

כמה כסף צריכים לגבות עבור השתתפות במשחק ע"מ שיהיה משחק הוגן?

 

פתרון:

1/2

1

1/3

5

1/6

35

תוחלת הרווח:

 

לכן יש לגבות 8 ₪ ע"מ שהמשחק יהיה הוגן.

 

דוגמא:  

ההסתברות שאדם בגיל 50 יישאר שנה נוספת בחיים היא 0.988.

איזה סכום שנתי חברת ביטוח צריכה לגבות עבור פוליסה של 100,000 ₪ ע"מ שלא תפסיד?

 

פתרון:

 

0.988

a

0.012

a-100,000

 

 

חברת הביטוח צריכה לגבות לפחות 1200 ₪.

 

דוגמא:  

בשעשועון "עשינו עסק" 3 דלתות, שמאחורי אחת מהן פרס. משתתף בתוכנית בוחר בדלת מספר 1.

המנחה חושף בפניו את דלת מספר 3 ומאחוריה אין פרס. בתשובה לשאלה האם לעבור לדלת מספר 2 או להישאר בדלת מספר 1, מה עליו לעשות?

 

פתרון:

 

הפתעה!! זה משנה. כדאי לעבור. אם הוא נשאר הסיכוי שלו לזכות 1/3. אם הוא עובר הסיכוי שלו לזכות 2/3.

 

ניתן לראות את ההוכחה בשתי דרכים – לפי עצים ולפי מעגלים.

 

הוכחה לפי עץ: נצייר שני עצים, העץ הימני הוא כאשר האסטרטגיה של המשתתף היא תמיד לעבור דלת, והעץ השמאלי הוא כאשר האסטרטגיה היא תמיד לא לעבור.

 

 

נביט בעץ הימני – ישנן שתי אפשרויות: או שהמשתתף בוחר בדלת הניצחון (יש, סיכוי של 1/3) או שהוא בוחר בדלת ההפסד (אין, סיכוי של 2/3).  עתה, קיים פיצול נוסף – המשתתף בוחר לעבור. אם הוא בחר בדלת הניצחון והוא עובר, אין סיכוי שהוא יזכה (סיכוי 0), כי הוא עובר לדלת של הפסד. במידה והוא בוחר בדלת ההפסד ועובר הוא בטוח מנצח (סיכוי של 1) מכיוון שהדלת שנותרה סגורה היא דלת ניצחון.

כעת ניתן לחשב את הסיכוי שלו לזכות בדלת הניצחון (יש) מתוך אסטרטגיה שהוא תמיד עובר דלת – הסיכוי שהמשתתף לבחור בדלת הפסד הוא 2/3 ובמקרה כזה הוא תמיד ינצח משום שהוא עובר לדלת הניצחון, לכן 2/3 =2/3 * 1. הסיכוי של המשתתף לבחור בדלת ניצחון היא 1/3, ובמקרה כזה הוא תמיד יפסיד כי הוא עובר דלת ולכן 0 = 1/3 * 0.

באופן דומה, ניתן לחשב את הסיכוי בעץ השמאלי לניצחון באסטרטגיה של לא לעבור, ונקבל 1/3.

מכאן, ניתן לראות כי האסטרטגיה העדיפה למשתתף היא זו שבו הוא תמיד בוחר לעבור.

 

הוכחה לפי מעגל:

 

גלגל פנימי: מיקום המכונית

גלגל אמצעי: בחירת המשתתף

גלגל חיצוני: הדלת אשר נחשפת ע"י המנחה

 

נראה חישוב של 1/3 אחד במעגל בו מיקום המכונית הוא בדלת מספר 1. במידה והמשתתף בוחר בדלת 1, המנחה יכול לחשוף את דלת 2 או את דלת 3. אם המשתתף עובר דלת – הוא יפסיד, ולכן על מנת לנצח, עליו להישאר בדלת 1. משום כך האסטרטגיה המתאימה היא אסטרטגיה של לא לעבור (צבע כחול). במידה והמשתתף בוחר בדלת 2 או 3, המנחה חייב לחשוף את דלת 3 או 2 (בהתאמה). במקרה הזה האסטרטגיה המתאימה היא לעבור לדלת שנותרה – דלת מספר 1 (צבע אדום). כאשר המשתתף בוחר בדלת 2, אמנם קיים רק מצב אחד של ניצחון, אך למצב זה אותו משקל כמו למצב שבו המשתתף בחר בדלת 1. לכן, במעגל החיצוני יש שני מספרי 3 לניצחון במקרה של בחירה בדלת 2. סה"כ אפשר לראות שהאפשרויות לניצחון באסטרטגיה של מעבר דלת גדול מהאסטרטגיה של להישאר בדלת שהמשתתף בחר בהתחלה.

 

עדיין לא מאמינים?

אם רוצים לתת לאצבעות ללכת במקום לחוקי ההסתברות, נסו זאת כאן.

► חזור                    המשך ◄