יחידה 3: הסתברות  >> 3.2: פעולות על קבוצות

חוקי הסתברות לאיחוד מאורעות

למה שווה

זה תלוי בתשובה לשאלה: האם המאורעות תלויים או בלתי תלויים?

מאורעות A ו-B הם בלתי תלויים כאשר ידיעת התוצאה של מאורע A אינה משפיעה על הסיכויים של תוצאת מאורע B.

על מנת לענות על שאלת האי תלות נגדיר:

הסתברות שולית (marginal probability) p(A)  : ההסתברות של מאורע A מעבר לערכים השונים של מאורע B. (לדוגמא: הסיכוי של סטודנט להיות בלונדיני מעבר לחוג הלימודים). המונח "שולית" מגיע מן העובדה שמסתכלים על הערכים בשולי הטבלה (ראה/י בהמשך).

הסתברות מותנית (conditional probability) p(A/B) : ההסתברות של מאורע A בהינתן ערך מסוים של מאורע B. (לדוגמא: הסיכוי להיות בלונדיני בקרב/בהינתן שאתה תלמיד החוג לפסיכולוגיה).

הגדרה של הסתברות מותנית של A בהינתן B– חיתוך החלק המשותף למאורעות A ו-B חלקי מרחב המדגם של B: .

            ולכן ,  וגם  .

בטבלת 2 x 2: אם ההסתברות השולית , שווה להסתברות המותנית = , אזי המאורעות בלתי תלויים.

באופן כללי: אם לקבוצה A i ערכים, ולקבוצה B j ערכים, המאורעות A ו-B בלתי תלויים אם עבור כל i,j  מתקיים: .

דוגמא: להלן נתונים אודות רמות הטיפוח (מטופח/מוזנח) של 300 גברים ונשים:

הערכים בתוך הטבלה הינם ערכי חיתוך –  לדוגמא: גם מוזנח וגם גבר, או גם מטופחת וגם אישה.

הסיכוי להיות מוזנח ללא קשר (מעבר) למין:

הסיכוי להיות מוזנח בקרב גברים (בהינתן שמדובר בגבר מה הסיכוי להיות מוזנח): .

ההסתברות השולית של A (1/3) שונה מההסתברות המותנית של  A(4/15), ולכן המאורעות תלויים.

דהיינו הסיכוי להיות מוזנח בקרב גברים שונה מהסיכוי להיות מוזנח בקרב נשים (או בקרב כלל האוכלוסייה).

תופעת התלות/אי-תלות הינה סימטרית, דהיינו אם , אזי בהכרח .

מאחר ואם המאורעות בלתי תלויים (ב"ת)   אזי:

מכאן שהגדרה מקבילה לאי-תלות היא:

המאורעות A ו-B הם בלתי תלויים כאשר:

משמעות אי התלות היא שהידע לגבי B אינו מוסיף/תורם לידע לגבי סיכויי התרחשות A.

► חזור                    המשך ◄