שאלות נפוצות - הסתברות

לקורס המקוון

 

לדף הראשי

1. שאלה:

(שאלה 5 בשאלות לדוגמא)

לא הבנתי את ההבדל בין סעיף א' לסעיף ב'- מה החשיבות למיקום?
בסעיף ב', שואלים מה ההסתברות שידלקו בדיוק 45 נורות- למה בתשובה המוצעת חשוב גם המיקום שלהן?

 

פתרון:

הסיכוי של כל נורה להיות שרופה הוא 0.1, בלי קשר למצב של הנורות האחרות (הן בלתי-תלויות אחת בשנייה). הסיכוי שחמש נורות ספציפיות יהיו שרופות ו-45 האחרות דולקות הוא 0.1 בחזקת חמש * 0.9 בחזקת 45 - מעניינת אותך פה קומבינציה אחת של 5 שרופות ו-45 דולקות.
ברגע ששואלים על איזשהן 5 נורות שרופות, מתכוונים שאו שנורות מס' 1-2-3-4-5  שרופות, או 2-3-4-5-6, או 6-11-17-19-31... ובעצם כל קומבינציה אפשרית של לבחור 5 מתוך החמישים שיהיו שרופות ויתר ה-45 דולקות. בגלל זה בוחרים 5 (או 45 - זה אותו דבר) מתוך 50 עבור איזה נורות יהיו שרופות (או דולקות). עכשיו נחשב מה הסיכוי שבאמת 5 יהיו שרופות ו-45 דולקות : 0.1 בחזקת חמש * 0.9 בחזקת 45.

בקיצור, ההסתברות לחמש שרופות ו-45 דולקות היא אותה הסתברות בסעיף א' ו-ב'. פשוט ב-ב' צריך לקחת בחשבון את כל הקומבינציות האפשריות של לבחור את השרופות, בעוד שב-א' כבר קבעו לנו איזו קומבינציה אחת חשובה.

 

2. שאלה:

(שאלה 4 סעיף ג' בשאלות לדוגמא).

 

פתרון:

הכוונה היא "כששניים כבר הוצאו והוחזרו".  כלומר, אנחנו עכשיו כבר בבחירה השלישית. אפשר לראות גם מהמכנה שבוחרים 1 מתוך 15, ולא 1 מתוך 13 - זאת אומרת ששני בנים כבר נבחרו, הוחזרו בחזרה, ועכשיו שוב יש 15 סטודנטים אופציונליים שניתן לבחור מהם.

 

3. שאלה:

(מתוך מטלה מס' 3)

6 נוסעים, 9 תחנות הורדה, מה ההסתברות לכך שאין שני נוסעים שירדו באותה תחנה. מחלקים במרחב מדגם של 9 בחזקת 6, מישהו יכול להסביר למה הקבוצה הרצויה במונה היא פרמוטציה 6(9)?

 

פתרון:

פרמוטציה של 6 מ-9 כלומר סידור 6 הנוסעים ב- 9 תחנות שונות, עם חשיבות לסדר (יש הבדל אם משה ירד בתחנה הראשונה או בתחנה השלישית). ברגע שאנו משתמשים בפרמוטציה אנחנו בעצם קובעים שמתוך 9 תחנות ירדו 6 נוסעים, כל אחד בתחנה אחרת, וכך אין סיכוי שירדו 2 נוסעים בתחנה (אם כך היו לנו פחות תחנות).

 

4. שאלה:

 (מתוך מטלה מס' 3)

קלפן מוציא 5 קלפים. מה הסיכוי שכולם יהיו מאותה צורה? (לב, תילתן...)

 

פתרון:

שלב ראשון - כאשר יש שאלת פוקר דבר ראשון שאמור לקפוץ לראש זה שיש לחלק בקומבינציה של 52 מ-5, שזה אומר כלל האפשרויות שיכולות לצאת מהוצאת 5 קלפים מתוך 52.

(מספרית - 2,598,960)

סבבה - עכשיו מה מחלקים? מצוין, הגענו לשלב השני...

שלב שני - להוצאת סדרה של 5 קלפים בעלי אותה צורה (תלתן למשל) יש 1,287 סידורים שונים. (איך הגענו? קומבינציה של 13 מ- 5.) אבל לא לשכוח שיש 4 סדרות אפשריות, אז מכפילים ב- 4.

שלב סופי - חישוב של הכל ביחד: (קומבינציה של 13 מ- 5) וזה כפול 4. (5,148) ואת התוצאה הזו לחלק בקומבינציה של 52 מ- 5.

 

יש גם דרך נוספת ( לחשב ישירות עם הסתברויות, ולדלג על הקומבינטוריקה):

ההסתברות לבחור את הקלף הראשון היא 52/52.

לאחר שבחרנו את הקלף הראשון כבר יש לנו צורה נתונה. כעת נותרו רק 12 קלפים מאותה הצורה כמו הראשון בחפיסה, ובחפיסה באופן כללי נותרו רק 51 קלפים. לכן ההסתברות שהקלף השני יהיה כמו הראשון היא 12/51.

כנ"ל לגבי הקלפים השלישי, הרביעי והחמישי: 11/50, 10/49 ו- 9/48 בהתאמה. בכל פעם נותרו פחות קלפים רצויים (מונה) ופחות קלפים אפשריים (מכנה). מכפלת ההסתברויות שוב תיתן את ההסתברות של החיתוך (כי ההסתברות של כל מאורע כבר מותנית בהסתברויות של המאורעות הקודמים) וזה בעצם מה שנתבקשנו למצוא.

 

5. שאלה:

(שאלה מס' 31 סעיף א' בשאלות לדוגמא)

למה אי אפשר פשוט להסתפק בהסתברות להטיל את הקובייה (1/6) כפול ההסתברות לשלוף מילה טעונה (8/5)?

 

פתרון:

כי לא שואלים על חיתוך אלא על הסתברות מותנה.

יש להבחין בין המצבים:

  - נבחרה מילה טעונה, מהי ההסתברות שהיא נבחרה מהקופסא הראשונה.

לבין

  - מהי ההסתברות שהמילה שנבחרה היא טעונה ונבחרה מהקופסא הראשונה.

 

6. שאלה:

(שאלה 39 בשאלות לדוגמא)

מדוע p(0.05/0.1)=0.5איך זה מתחבר לנוסחא שלמדנו שהסתברות של A/B שווה לA חיתוך B חלקי B?

 

פתרון:

פשוט צריכים להכליל את הנוסחה שלמדנו למקרה פרטי אחר.

במקרה הנוכחי מתבקשים למצוא את הסיכוי של (A חיתןך B חיתוך C) בהינתן (A חיתוך B).

אז בהכללה של הנוסחה שלמדנו, אנו צריכים למצוא את החיתוך של שני ה"איברים" שהוא

(A חיתוך B חיתוך C) חיתוך (A חיתוך B) שזה בעצם (A חיתוך B חיתוך C) ולחלק בסיכוי של הביטוי המותנה, דהיינו הסיכוי של (A חיתוך B).

 

7. שאלה:

כשרוצים לחשב את החיתוך של A עם B (ולא ידוע אם המאורעות תלויים או לא)- האם ניתן לעשות הסתברות של A כפול הסתברות של B (כפי שעושים במקרה של מאורעות בלתי תלויים)?

האם ניתן להניח שהמאורעות בלתי תלויים או יש להוכיח זאת קודם?

 

פתרון:

לא ניתן לעשות הסתברות של A כפול הסתברות של B, כי באמת לא יודעים אם המאורעות תלויים או לא. אם נעשה הסתברות של A כפול הסתברות של B בהינתן A, נכסה את עצמנו מכל הכיוונים (כי אם הם תלויים, זאת הנוסחה שיש להשתמש בה, ואם הם ב"ת, אז B בהינתן A שווה ל-B ואז יש לנו בעצם הסת' של A כפול הסת' של B).

 

8. שאלה:

(שאלות 34, 36 בשאלות לדוגמא)

מה ההבדל בין העוגות של אמא לקליעות של וויט, למה אצל וייט יש קומבינציות?

 

פתרון:

אמא לא מכינה כמות קבועה של עוגות, אלא יכולה להכין 1 2 3 4 או 5 עוגות.

במקרה שלה נרצה לברר כמה עוגות אפתה, ואין בעיה של סידור לכן אין צורך בקומבינציות.

כלל האפשרויות הן אלו (ולא יותר):

1 = טעימה

2 = לא טעימה, כן טעימה

3= לא, לא, כן

4=לא,לא,לא,כן

5= לא,לא,לא,לא,כן "או" לא,לא,לא,לא,לא > התייאשה וקנתה עוגה..

 

וויט לעומת זאת זורק בכל פעם 5 פעמים לסל - והמדד הוא אם קלע או לא קלע.

במקרה שלו נרצה לברר כמה קליעות קלע מתוך ה-5 שזרק.

בפונקציית ההסתברות של וויט הולכים מ-0 קליעות ועד 5 קליעות מתוך ה-5 שניסה.

 

מדוע קומבינציות לוויט? - נפריד את 5 המקרים לשני סוגים:

(1) ישנם 2 מקרים שאין צורך בקומבינציות:

במקרה שהוא לא קלע אף פעם - ההסתברות היא 5^0.2 (הסתברות אי-קליעה כפול 5 פעמים)

במקרה שקלע בכל הניסיונות - ההסתברות היא 5^0.8 (הסתברות אי-קליעה כפול 5)

(אין צורך בקומבינציות כי מדובר ב5 תוצאות זהות, והסדר לא משנה)

(2) ו-3 מקרים שבהם יש צורך בקומבינציות:

קליעה 1, 2, 3 או 4 (ובהתאם החטאה של 4, 3, 2 או 1) - במקרים אלו בנוסף לחישוב ההסתברות עלינו להכפיל באפשרות לסידורים פנימיים. (סידור 1 מתוך 5 במקרה הראשון, 2 מתוך 5 במקרה השני, וכו')

ואת הקומבינציה הזו שהיא בעצם מספר הסידורים הפנימיים צריך להכפיל בהסתברות לתוצאה

 

לדוגמא:

1 קליעה, 4 החטאות

ההסתברות היא 0.8*0.2*0.2*0.2*0.2

אך אפשר לסדר בכמה אפשרויות :

ק,ה,ה,ה,ה

ה,ק,ה,ה,ה

ה,ה,ק,ה,ה

ה,ה,ה,ק,ה

ה,ה,ה,ה,ק

(קומבינציה של 1 מ-5)

 

9. שאלה:

(שאלה ממטלה 4)

מהם סיכוייו של שחקן פוקר (מקבל 5 קלפים ליד מתוך חבילה של 52, בהם 4 סדרות של 13 קלפים בסדר עולה מ 10-2, ואז נסיך, מלכה, מלך ואס) לקבל ליד 2 זוגות כלשהם ופעם אחת מלך?

 

פתרון:

 

 

10. שאלה:

(שאלה ממטלה 4)

לאחר הזכייה במכרז ערוץ שתיים על ידי שתי הזכייניות קשת ורשת, ביקשה מועצת הרשות השנייה לבדוק אם שתי הזכייניות עומדות בתנאי המכרז של אחוז זמן השידור המוקדש להפקות מקור.

לצורך השאלה יש להניח כי המשדרים מתחלקים ל: א) הפקות מקור, וב) שידורים מחו"ל.

להלן הנתונים שנמצאו:

לקשת 4 ימי שידור מתוך כל שבוע, ואחוז זמן השידור שלה המוקדש להפקות מקור מהווה 20 אחוז מכלל השידורים בערוץ 2.

אחוז זמן השידור המוקדש להפקות המקור של רשת מהווה 20 אחוז מכלל השידורים בערוץ 2.

ענו על השאלות הבאות (בהתאמה): האם יש תלות בין ההשקעה באחוז זמן השידור המוקדש להפקות מקור לבין הזכיינית? מהו אחוז זמן השידור המוקדש להפקות מקור בקשת?

 

פתרון:

 

 

11. שאלה:

(שאלה 44 בשאלות לדוגמא)

למה הרווח באופציות א ו-ב הוא 200-2a ולא 2a-200?

וחוץ מזה אני לא הבנתי באופן כללי אם כשמתייחסים בפונקציית הסתברות לרווח מדובר ברווח לפני החסרת דמי ההשתתפות או אחרי?

 

פתרון:

מכיוון שהשאלה היא מנקודת מבטו של דני - בעל הקזינו, ברגע שהוא גובה 200 ש"ח מכל משתתף הוא מרוויח אותם (ולכן +) וברגע שהמשתתף מרוויח 2A, דני מפסיד סכום זה (ולכן -).

לגבי התייחסות להחסרת דמי השתתפות, את יכולה לחשב את זה כבר בפונקציית ההסתברות, ולהחסיר מכל רווח אפשרי את דמי ההשתתפות, או שאת יכולה לחשב את פונקציית ההסתברות ללא החסרת דמי ההשתתפות, ולהחסיר אותם אח"כ מהתוחלת. כיוון שזה נתון קבוע שאינו משתנה כתלות ברווח או בכל דבר אחר (זה גם נובע מהנוסחאות של תוחלת שנמצאות במצגת).

 

12. שאלה:

(שאלה ממטלה 4)

מהם סיכוייו של שחקן פוקר (מקבל 5 קלפים ליד מתוך חבילה של 52, בהם 4 סדרות של 13 קלפים בסדר עולה מ 10-2, ואז נסיך, מלכה, מלך ואס) לקבל ליד 2 זוגות כלשהם ופעם אחת מלך?

 

פתרון:

 

13. שאלה:

(שאלה ממטלה 4)

הגמר הגדול בפרויקט Y מתקרב. לגמר יעלו סה"כ 6 מתמודדים/ות שמתוכם יבחר מנצח אחד.  עכשיו נשארו בוילה 3 גברים ו-4 נשים. לפני הגמר תהיה עוד הדחה אחת של גבר או אישה.  אם ידוע שהסיכוי שיודח גבר הוא 0.8 והסיכוי שתודח אישה הוא 0.2, מהו הסיכוי שגבר ינצח בגמר?

 

פתרון:

 

14. שאלה:

(שאלה ממטלה 4)

בשיכון סטודנטים בנין בן 3 קומות עם 4 דירות בכל קומה. בכל דירה מתגורר סטודנט אחד. שלושה דיירים נפגשו במקרה בכניסה לבנין. מה ההסתברות ששלושתם גרים בקומות שונות?

 

פתרון:

הרצוי שלנו הוא לבחור 3 סטודנטים שכל אחד מקומה אחרת כלומר:

(4/1)combin בחירת סטודנט מקומה א' (כל קומה 4 דירות), עלינו באותו אופן לבחור סטודנט גם מקומה ב' וגם מקומה ג' כלומר:

(4/1)* (4/1)* (4/1) - מדובר בקומבינציות אם זה לא ברור...  סה"כ - 64

המצוי: בחירת 3 סטודנטים מתוך 12 (12/3)combin שזה 220.

סה"כ 64 חלקי 220 שזה בעצם 32 חלקי 110.

 

יותר ארוך ומסורבל:

ההסתברות לבחור את הסטודנט הראשון שנכנס לבניין היא 12/12 (כי יש סה"כ 12 סטודנטים).

נשארו 8 סטודנטים דיירי הבניין שאינם מהקומה של הסטודנט שכבר נבחר (כיוון שבכל קומה יש ארבעה סטודנטים). אך כעת נותרו רק 11 סטודנטים שאפשר לבחור מהם (כי את הראשון כבר בחרנו). לכן ההסתברות שהסטודנט השני אינו מאותה הקומה של הראשון היא 8/11.

באותו אופן עבור הסטודנט השלישי שנכנס יש רק 4 אפשרויות (ישנה רק קומה אחת כעת שממנה עוד לא בחרנו סטודנט), מתוך 10 סטודנטים שנותרו. ולכן 4/10.

המכפלה של כל ההסתברויות הללו תתן את התסברות החיתוך- כלומר, ששלושת הסטודנטים אינם מאותה הקומה.

(12/12)*(8/11)*(4/10)=32/110

 

חשוב לציין שנכון להכפיל הסתברויות מאורעות על מנת לקבל את הסתברות החיתוך שלהם רק כשהמאורעות בלתי תלויים!

במקרה הזה אנחנו מכפילים מאורעות המותנים כבר אחד בשני. ההסתברות שהסטודנט השני יהיה מקומה אחרת מאשר הראשון כבר חושבה, בדרך לעיל, מתוך מצב טבע בו הסטודנט הראשון כבר נבחר, כלומר:

(P(B)*P(A/B. (למשל, חילקנו ב- 11 ולא ב- 12). כנ"ל לגבי הסטודנט השלישי.

 

15. שאלה:

כאשר יש לדוגמא הסתברות לצפות בתכנית א' או בתכנית ב'. מה בעצם נתון?
א. שזהו הסיכוי לצפות או בא' או בב' או בשניהם (מבחינה מתמטית סיכוי של א' +סיכוי של ב' פחות החיתוך -כיוון שהוא בעצם חושב פעמיים).
ב. שזהו הסיכוי לצפות או בא' או בב' והוא לא כולל את החיתוך של שניהם (מבחינה מתמטית זה הסיכוי של א' פחות החיתוך+הסיכוי של ב' פחות החיתוך וכך נישאר עם שני המעגלים ללא החיתוך ביניהם מה שייתן את אופציית " או זה או זה").

 

פתרון:

התשובה היא א'.

"או" במתמטיקה אומר איחוד. או מאורע A, או מאורע B, או מאורע A ו- B ביחד.

כלומר, כמו שרשמת - הסיכוי של A פלוס הסיכוי של B מינוס הסיכוי של החיתוך.