יחידה 6: מדדים לנטייה מרכזית  >> 6.3: ממוצע – תכונות

הוכחת תכונות הממוצע

 

לממוצע מספר תכונות חשובות. עתה נעבור על ההוכחות המתמטיות לתכונות אלו. הוכחה מתמטית הינה רצף לוגי של פתרון משוואות ושימוש בחוקים שונים. בקורס נעבור על מספר מצומצם של הוכחות אך חשוב לנסות ולהבין דרך מחשבה זו. למי שמתעניין בכך מומלץ לקחת קורסים מתמטיים "אמיתיים" במתמטיקה עם הוכחות מלאות רבות!

 

1.   הממוצע הוא הערך שסכום המרחקים ממנו שווה ל-0.

הוכחה לכך שסכום המרחקים מהממוצע שווה לאפס: 

 

נפתח את הסוגריים לפי חוקי הסכימה:  

 

סכום של קבוע שווה ל-n פעמים הקבוע:  

 

נחליף את  ב- ,  וזאת כי   

 

ומכאן ש:      

 

מ.ש.ל

 

 

2. הממוצע הוא הערך שסכום ריבועי המרחקים ממנו הוא מינימלי.

 

הוכחה לכך שהממוצע הוא הערך שסכום ריבועי המרחקים ממנו הוא מינימלי: 

 

לצורך ההוכחה נניח שקיים ערך z אשר מקיים את המשוואה שסכום הריבועים ממנו הוא מינימלי:

 

נציג את  z כך שהוא הממוצע ועוד קבוע כלשהוא:   עבור y לא ידוע (חיובי או שלילי)

 

נוכיח שסכום המרחקים מ-z הוא מינימלי כאשר  y = 0 ולכן:

 

 

נציב במקום z,  ונפתח את הסוגריים של הריבוע  :

 

עתה נכפיל את הגורמים המופיעים בשני הסוגריים:

 

נסכום ונרכז את הגורמים השונים:  

 

עתה לפי חוקי הסכימה (סיגמה של סכום שווה לסכום הסיגמאות) נפריד את סכום הגורמים השונים לסיגמאות נפרדות: 

 

מכיוון שהממוצע  ו-y הינם קבועים, ניתן להחליף את הסיגמאות המכילות את הערך קבוע במכפלות פי n בקבועים (לדוגמא  ).   

כמו כן יש לשים לב ש:   

 

 

עתה נצמצם את הביטויים הדומים ונקבל:  

 

הערך y  אשר יגרום לביטוי   להיות מינימלי הוא: , וזאת משום שכל ערך בריבוע הינו חיובי ולכן רק אם y=0 הביטוי יהיה מינימלי.

 

 

לכן מאחר ו- , הערך שיביא למינימום את הביטוי הוא כאשר y=0 ולכן  ומכאן ש:

 

מ.ש.ל

חישוב ממוצע מרשימת ערכים דרך ה-EXCEL=AVERAGE(array)

 

חישוב ממוצע מטבלת שכיחויות דרך ה-EXCEL:

 

ולפינת בדיחות הסטטיסטיקאים הידועות לשמצה:

 

Did you know that the great majority of people have more than the average number of legs? It's obvious really; amongst the 57 million people in Britain there are probably 5,000 people who have got only one leg. Therefore the average number of legs is:

((5000 * 1) + (56,995,000 * 2)) / 57,000,000 = 1.9999123

Since most people have two legs...

 

Did you hear about the statistician who had his head in an oven and his feet in a bucket of ice?  When asked how he felt, he replied, "On the average I feel just fine."

בהתפלגות נורמלית עליה נלמד עוד רבות בהמשך הקורס, הממוצע, השכיח והחציון נופלים באותה הנקודה יחד עם זאת לא כל התפלגות שבה הממוצע החציון והשכיח נופלים באותה נקודה הינה התפלגות נורמלית.

 

 

 

בהתפלגות בעלת הטיה חיובית הערך הממוצע גדול מהערך החציון:  mean >  median (להתפלגות יש זנב מצד ימין).

 

בהתפלגות בעלת הטיה שלילית הערך הממוצע קטן מהערך החציון:  mean <  median (להתפלגות יש זנב מצד שמאל).

► חזור                    המשך ◄