יחידה 2: קומבינטוריקה  >> 2.2: דוגמאות

דוגמאות לשאלות בנושא קומבינטוריקה

דוגמא מס' 1:

בכמה דרכים ניתן לבחור 3 תלמידים מתוך כיתה של 150 ע"מ שייצגו את הכיתה בפני ראש החוג?

 

פתרון:

 

הסדר חשוב?     

לא       קומבינציות.

 

 

דוגמא מס' 2:

בכמה דרכים ניתן לבחור 3 תלמידים: יו"ר, מזכיר וגזבר מתוך כיתה של 150?

 

פתרון:

 

הסדר חשוב?     

כן      פרמוטציות.

 

 

דוגמא מס' 3:

בכמה דרכים ניתן לצלם 6 בני משפחה בשורה כאשר ההורים חייבים לעמוד יחד?

 

פתרון:

 

במקרה כזה אנו "מדביקים" את ההורים (התנאי שחייב להתקיים), מסדרים את כל האיברים (שחלקם כוללים יותר מפרט בודד, במקרה שלנו שני ההורים הם "איבר" אחד), ולבסוף מכפילים בסידורים הפנימיים של ה"איברים" הכוללים יותר מפרט בודד (במקרה שלנו ההורים).

והתשובה:  .

 

5 האיברים הם: 4 ילדים + זוג הורים:

 

דוגמא מס' 4:

בכמה דרכים ניתן לצלם 6 בני משפחה בשורה כאשר 2 אחים רבו ולא מוכנים לעמוד אחד ליד השני?

 

פתרון:

 

במקרים כאלו קשה ומסורבל לחשב על דרך החיוב, לכן מומלץ לעבוד על דרך השלילה. דהיינו מחשבים את סה"כ הדרכים האפשריות ללא הגבלות ומפחיתים את מספר המקרים אשר מפרים את החוקים (במקרה שלנו ששני האחים עומדים יחד):

סה"כ המקרים ללא הגבלות: 6!=720

סה"כ המקרים בהם האחים עומדים יחד: 5!*2!=240

סה"כ המקרים בהם האחים לא עומדים יחד:6!-(5!*2!)=480

 

דוגמא מס' 5:

בכמה דרכים ניתן לצלם 6 בני משפחה בשורה כאשר ההורים חייבים לעמוד יחד ו-2 אחים לא מוכנים לעמוד אחד ליד השני?

 

פתרון:

 

כאשר ישנם תנאים שחייבים להתקיים (חיובים) וכאלו שאסורים (שליליים), מחשבים את כלל המקרים החיוביים ומפחיתים את המקרים השליליים מתוך החיובים.

 

דהינו נחשב את כלל המקרים בהם ההורים עומדים יחד ונפחית את המקרים בהם גם ההורים עומדים יחד וגם זוג האחים.

 

דוגמא מס' 6:

ליותם 10 דיסקים: 4 של רוק, 3 של טראנס ו-3 של ג'אז.

1.      בכמה דרכים הוא יכול לסדר אותם על מדף?

2.      בכמה דרכים ניתן לסדרם, אם הוא רוצה שהדיסקים בכל סגנון יהיו יחד?

3.      בכמה דרכים ניתן לסדרם, אם רק הדיסקים של רוק מסודרים יחד בקצה המדף?

 

פתרון:

 

1. !10

 

2.

 

3.

 

דוגמא מס' 7:

כמה צרופים בני 4 אותיות ניתן לחבר מתוך 22 האותיות העבריות, אם אסור שיופיע הצרוף "רע"?

 

פתרון:

 

 

דוגמא מס' 8:

בכיתה 20 בנות ו-30 בנים. נבחר ועד בן 3 תלמידים. כמה ועדים אפשריים קיימים בעלי ייצוג של שני המינים?

 

פתרון:

 

דרך החיוב

דרך השלילה (מומלץ)

 

דוגמא מס' 9:

אוטובוס יוצא מהתחנה הסופית שלו בר"ג. לאוטובוס 30 מושבים זוגיים.

1.      בתחנה הראשונה עולים 20 איש. בכמה דרכים הם יכולים להתיישב?

2.      בכמה דרכים יכולים להתיישב 20 הנוסעים אם כל אחד מתיישב לבדו במושב?

3.      בט"ו באב עולים 10 נשים ו-10 גברים לאוטובוס. בכמה דרכים הם יכולים להתיישב, כאשר כולם בזוגות (הטרוסקסואליים)?

4.      20 אנשים ירדו בתחנה האחרונה. כמה אפשרויות של "כסאות חמים" קיימות?

 

פתרון:

 

1. בעצם אנו צריכים לסדר 20 איש ב-60 מקומות כאשר הסדר חשוב:

 

2.

 

3.

 

4.    

► חזור                    המשך ◄