שאלות נפוצות - קומבינטוריקה

◄ לקורס המקוון

לדף הראשי ►

1. שאלה:
שאלה 13ג' בשאלות לדוגמא:

הבנתי שהפתרון הוא על דרך השלילה, שיש להפחית ממספר האפשרויות לסידור ללא הגבלה את שתי האפשרויות האסורות (3 אותיות אותו דבר ו-4 אותיות אותו דבר).
אך מדוע בשביל למצוא את האפשרויות האסורות
3 אותו דבר- צריך לעשות = 6*5*4?
ו-4 אותו דבר = 6?

פתרון:

יש 6 אותיות אפשריות (A, F, G, H, E, M).
כדי ליצור מילה ובה 3 אותיות זהות, אנחנו לוקחים אחת משש האותיות שתופיע 3 פעמים (לדוגמה A) ועוד אות אחת מחמש האותיות שנותרו (לדוגמה F), ואז המילה יכולה להיות באחת מארבע דרכים (ארבעה מקומות אפשריים לאות השניה: (AAAF, AAFA, AFAA, FAAA)
לכן צריך להכפיל 4*5*6: שש אותיות אפשריות להכפלה כפול חמש אותיות שיכולות להיות האות הרביעית כפול ארבע דרכים אפשריות לסדר את המילה.
כדי ליצור מילה ובה 4 אותיות זהות, יש שש אפשרויות (כל פעם מילה ובה אות אחרת):
AAAA, FFFF, GGGG, HHHH, EEEE, MMMM

2. שאלה:

שאלה 1 בשאלות לדוגמא:

סעיף א- התשובה היא 2 בחזקת 7, כיוון שיש 7 ניסיונות ובכל ניסיון 2 תוצאות אפשריות.- מדוע אין התייחסות לזה שהוציא קודם 3 שפנים ואח"כ 4 יונים?   למעשה, בכל סדר שהוא היה שולף את החיות יש 7 ניסיונות ו-2 תוצאות אפשריות.

סעיף ב- גם כאן (שהחיות נשלפו באקראי), המצב זהה לסעיף א- 7 ניסיונות ו-2 תוצאות אפשריות. לא הבנתי מדוע הוסיפו קומבינציה של 4 מתוך 7.

פתרון:

בסעיף א', ההתייחסות לשתי תוצאות אפשריות בכל שליפה היא לשני צבעים שונים, ולא לסוג החיה שהוא שולף מהכובע (אם את רוצה להפריד- אפשר לכפול את הארנבים- 2 בחזקת 3 (שני צבעים, שלושה ניסיונות) כפול היונים- 2 בחזקת 4 (שני צבעים, ארבעה ניסיונות)- זה יוצא שוב2  בשביעית.
בסעיף ב', שוב יש את נושא הצבעים כמו בסעיף א' (סה"כ 7 ניסיונות, כל פעם שתי תוצאות אפשריות מבחינת צבע), אבל עכשיו צריך גם לבחור את סדר שליפת סוגי החיות. מתוך 7 ניסיונות שליפה, יש ארבעה מקומות ליונים, ושלושה לארנבים. אם בוחרים את ארבעת המקומות של היונים (כפי שהם עשו בפתרון), הארנבים יהיו בכל שאר המקומות (השלושה שנשארו).

3. שאלה:

שאלה מהמטלה (שימו לב...):

5 גברים, 5 נשים כמה סידורים יתכנו בשורה כאשר לא יכולות לעמוד 2 נשים אחת ליד השנייה?

פתרון:

סדרו קודם את הגברים:  __ ג __ ג __ ג __ ג __ ג __. לזה יש !5 סידורים.
בכל אחד מששת המקומות הריקים אפשר לשים אישה כך שהתנאי יישמר: פרמוטציות של 5 מתוך 6.

שימו לב שפתרון זה כולל בתוכו את כל המצבים בהם יש אישה בכל קצה ו-2 גברים עומדים זה ליד זה.

לדוגמא: א ג א ג ג א ג א ג א.  גם במצבים אלו הנשים עדיין מופרדות ע"י גברים.

4. שאלה:

שאלה מהשאלות לדוגמא (19): במשחק ברידג' מחלקים באופן שווה חפיסת קלפים אחת (ללא ג'וקרים) לארבעה אנשים. בכמה דרכים ניתן לעשות זאת?

פתרון:

פתרון מפורט מפי האדמו"ר עידן בלנק נמצא כאן.