יחידה 4: הבינום >> 4.1: התפלגות בינומית

התפלגות בינומית ומבחן הבינום

וכמובטח קישור לקומבינטוריקה – לא להיבהל!

 

שאלה לדוגמא:

הסיכוי של שחקן מסוים לקלוע לסל בזריקת עונשין הוא 0.7.

מה הסיכוי שמתוך 5 זריקות עונשין (בלתי תלויות זו בזו) הוא יקלע 3 פעמים בדיוק?

זוכרים? שילובים של קומבינטוריקה והסתברות?  לא לשכוח את הכנסת ההסתברות באפשרויות סידור הקליעות.

ניסוח המצב באופן כללי:

במצב שבו ההסתברות להצלחה בניסיון מסוים היא  וההסתברות לכישלון היא . הסיכוי להצליח k פעמים מתוך n ניסיונות ב"ת שווה ל: .

 = ההצלחות, ו-  = הכישלונות.

הניסיונות נקראים ניסיונות Bernoulli: ניסיונות בלתי-תלויים, כאשר לכל ניסיון 2 תוצאות אפשריות.

Bernoulli (1645-1705) Jakob

אם נחשב פונקצית הסתברות של k (מספר הצלחות מתוך n ניסיונות), נקבל התפלגות בינומית.

לדוגמא: מספר הקליעות מתוך 5 זריקות עונשין: סכום ההסתברויות חייב להיות שווה ל-1.

p

p(k)

מס' קליעות K

0.00243

0

0.02835

1

0.13230

2

0.30870

3

0.36015

4

0.16807

5

גם הסינים וגם פסקל בנו את המשולש בו השתמש Bernoulli אחר כך לצורך חישוב מהיר של המקדמים :

איך המשולש נבנה?

סוכמים את שני הערכים הצמודים מהשורה שמעל וכך המשולש מתרחב לכיוון בסיסו.  אלה הם בעצם מקדמי הבינום אשר ניתן למצוא אותם או באמצעות נוסחת הבינום הכללית (וכך נעשה במסגרת הקורס), או מתוך המשולש כפי שחלקנו עשינו בתיכון.

 

דוגמא למקדמים:

4 ניסיונות כשבכל ניסיון 2 תוצאות אפשריות

 - שימו לב לשורה החמישית במשולש 1 4 6 4 1, אלה הם המקדמים. החזקות עבור p עולות מ-0 עד n, ועבור q יורדות מ-n עד 0.

► חזור                    המשך ◄