簡諧運動 與 等速率圓周運動 的關係
當彈簧的受力 正比於 彈簧長度的變化量時, 彈簧會形成 簡諧運動。
(Simple Harmonic Motion -SHM) 更複雜的問題請參考 彈簧與力
本 Java 動畫 希望你能 藉由 動畫的觀察中 看出
簡諧運動 與 等速率圓周運動 之間 的關係。
按 Start 啟動動畫。 圓周上的黑點會以 等角速率繞著圓心運動。
注意看 振幅 的波形 與 正弦函數 的關係。
按 滑鼠 右鍵 能暫停動畫,再按一次 則會 繼續。
你看出動畫中的頻率(每秒繞的圈數)是多少嗎?
紅色箭頭 表示 黑點運動的速度,
黃色箭頭 與 藍色箭頭 則分別代表 速度 在 X 及 Y 方向的分量(投影)。
另外 紅色/黃色 線段 分別標出 X/Y方向上的位移。
注意觀察 線段與 箭頭 長度之間 有沒有什麼關係?(從幾何上觀察)
什麼時候質點的速度最大?什麼時候質點的速度最小?與位移間有何關係?
圖中有一暗灰色區域,按滑鼠右鍵後 左右移動 可以讓圓板繞垂直軸轉動。
用以模擬側面觀看 圓周運動 (圖片)。
轉至寬度為零時,只能見垂直方向的運動。
初學物理 的學生或許 都會有這樣的問題:
為何 物理學 一直在談 彈簧與單擺等 簡諧運動。
簡諧運動有什麼重要呢?還是 因為他們 簡單且數學上有完整的解。
首先談談 什麼是 簡諧運動:
考慮 物體不受力 處於 某個平衡位置。
當物體受到 外界影響,使物體離開平衡位置時,
凡是 物體所受的作用力 與 物體的位移 成正比,
且作用力方向與位移方向相反時,
簡單的說 作用力 F = - k X ( X 為物體的位移)。
則 物體的運動會是 簡諧運動。
數學上 我們可以完整的解出 簡諧運動 的 運動方程式 (改寫如下)
F = m a = m d2X/dt2 = - k X
d2X/dt2 = - (k/m) X = - ω2 X , ω2 = k/m
其解可以 是 X = Xo sin (ωt +φ),其中 φ 為 一角度(相角)。
| Xo | 為物體最大位移(彈簧最大 壓縮/伸張 量)
以彈簧而言: k 為 彈性係數。ω 的數值由 彈性係數 k 與 質量 m 決定。
Xo 與 φ 則由 彈簧的初始條件決定。(例如:t = 0 時 的位移 與速度)
由於速度 V 是 位移隨時間的變化率
V = Xo ω cos (ωt +φ)
物體在 外力作用下 儲存的位能 U = -∫ F • d X = -∫ -kX • d X = (1/2) k X2
物體的動能 K = (1/2) m V2
物體的總機械能 E = U + K = (1/2) k X2 + (1/2) m V2
= (1/2) k X2o sin2(ωt +φ) + (1/2) mω2 X2o cos2 (ωt +φ)
= (1/2) k X2o ( ∵ k = mω2 且 sin2θ+ cos2θ= 1 )
若是你想要討論實際彈簧又受到 阻力 或 強迫振盪 的情形,請參考 彈簧與力
物體在 彈簧作用下儲存的位能為 (1/2) k X2 ,動能為 (1/2) m V2
物體的總機械能 E = (1/2) k X2 + (1/2) m V2 = 常數
因此 若將上式 微分 則
dE/dt =0. , dK/dt = k X dX/dt = k X V, dU/dt = m V dV/dt = m V a
則 0 = k X V + m V a
∴ F = m a = - k X 回到 作用力的方程式
加以推廣:我們說 當 物體的位能 與 U(X)= a X2 時 (a>0) 便會是 簡諧運動。
讓我介紹 一下 最厲害的數學式:泰勒展開式
對任一 x 為參數的函數 f(x) 可以表示為
f(x) = f(xo) + (1/1!) f'(xo) (x-xo) + (1/2!) f''(xo) (x-xo)2 + (1/3!) f'''(xo) (x-xo)3 + ...(高次項)
上式中 f', f'', f''' 等為 f 函數的一次,二次與三次微分。
上面這個式子 初看之下,好像也沒有什麼特殊。但是只細想一想。
上面的式子 說:
只要我知道 一個函數 f 在 xo 點的函數值,一次微分的函數值,二次微分的函數值,
三次微分的函數值...(無窮多項) 等 ,( xo 是 任意的一點)
我可以得到 這個函數在 宇宙 任一角落處 得函數值。( x 也是 任意的一點)
而且 這個函數 可以是 任何函數,例如:密度,溫度,壓力 ... 等。
也就是說 如果我知道 空間中某處(實驗室)的溫度,溫度隨空間的一次微分,
溫度隨空間的二次微分,溫度隨空間的三次微分 ... (在同一點的值)
則我可以知道 遠在太陽系外某一點的溫度。(真厲害!)
只是 唯一的缺點是(也是不可能辦到的)必須知道 溫度隨空間的任意次微分的值。
但是 可以辦得到的是 溫度隨空間的最初幾次微分的數值。
則 利用上式(泰勒展開式)時,只要 x 離開 xo 不很遠 則仍然可以使用。
(當 x-xo 較小時,高階項可以忽略)
我們若將 泰勒展開式 用在物體的 位能上,則 位能
U(x) = U(xo) + (1/1!) U'(xo) (x-xo) + (1/2!) U''(xo) (x-xo)2 + (1/3!) U'''(xo) (x-xo)3 + ...
當物體處於平衡位置 xo(不受力)時,
U'(xo) = dU/dx | x=xo = - F(x)| x=xo = 0.
F= - dU/dx 式的意思:( 力 是 位能隨空間的變化量)
可由 U = -∫ F • d X 反推(微分)
因此 U'(xo)=0. 而 位能的參考點 U(xo) 可以任選,設其為零。
則 離開平衡位置 U(x) = (1/2!) U''(xo) (x-xo)2 + (1/3!) U'''(xo) (x-xo)3 + ...
若取 x 離平衡位置不遠,則 U(x) = (1/2!) U''(xo) (x-xo)2
也就是說 任何東西在離開平衡位置附近很近時,其位能皆為 位移平方的形式。
任何的物體 在穩定平衡點 (U''(xo)>0) 上,受到擾動做微小位移時
其運動 都會是 簡諧運動。
樹葉受風輕吹時,車子碰到小石塊時,橋樑受大貨車壓過時,...
自然界的物體到處可見 簡諧運動的出現。
你說 簡諧運動 重不重要呢?
歡迎批評指教!電子郵件 : 請按 hwang@phy03.phy.ntnu.edu.tw
作者:國立台灣師範大學 物理系 黃福坤
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