a3.3

יחידה 3: הסתברות >> 3.3: סיכום ועצים

אז למה שווה ?

תמיד מתקיים כי . כאשר A ו-B בת"ל, מתקיים כי וגם , ולכן במקרה זה מתקיים .

דוגמא: האם המאורעות A ו-B תלויים זה בזה לפי נתוני הטבלה הבאה?

	מטופח	מוזנח
150	110	40	גברים
150	90	60	נשים
300	200	100

פתרון:

ניתן למצוא אף מהו לפי שימוש בנוסחת ההסתברות המותנית:

עוד ניתן לראות שהמאורעות A ו-B תלויים זה בזה משום ש:

ניתן אף לבנות טבלה בהנחת אי-תלות כאשר נתונות ההסתברויות השוליות.

דוגמא: השלימו את הטבלה הבאה בהנחת אי תלות:


150
450
600	200	400

פתרון:


150	50	100
450	150	300
600	200	400

ולכן המאורעות בלתי תלויים.

דוגמא: האם התוצאה של הטלת מטבע תלויה בתוצאה הקודמת?

פתרון:

כמובן שלא.

כאשר אנשים סבורים שתוצאת מאורע מקרי (הטלת מטבע) תלויה בהיסטוריית ההטלות התופעה מכונה כשל המהמר Gambler's fallacy. כך מאחר וברולטה והסיכוי לקבל מספר אדום שווה לסיכוי לקבל מספר שחור, לאחר מספר רב של פעמים בהם יצא מספר אדום המהמר יחשוב שבסיבוב הבא יצא מספר שחור (כי למספרים יש את "הנטייה" להתאזן. לפי חוקי ההסתברות, הדבר נכון רק כאשר מספר הסיבובים שואף לאינסוף, אל לא נכון במקטע כלשהו. בכל זמן נתון הסיכוי לקבל מספר אדום בסיבוב הבא שווה לסיכוי לקבל מספר שחור.

לדוגמא: מהו הסיכוי שב-21 הטלות מטבע נקבל 21 פעמים עץ: .

ידוע שמתוך 20 הטלות המטבע הוא נפל 20 פעמים על עץ, מהו הסיכוי שבהטלה ה-21 הוא ייפול על עץ: 0.5 (בדיוק כמו בכל הטלה אחרת).

כאשר מטבע הוגן מוטל מספר פעמים גדול לדוגמא 1000 פעמים, אנו נצפה שהתוצאה תהיה מאוזנת כלומר בערך 500 פעמים עץ ובערך 500 פעמים פלי. בהמשך נעסוק בשאלה מתי תוצאה מסוימת תחשב כחריגה. אולם בשלב זה חשוב להדגיש שגם אם המטבע ייפול בדיוק 500 פעמים על עץ ו- 500 פעמים על פלי, אין כל התחייבות על רצף ההטלות, אף אחד לא מבטיח שאחרי 20 פעמים עץ המטבע ייפול על פלי !

אי-תלות באופן כללי:

אם לקבוצה A i ערכים, ולקבוצה B j ערכים, המאורעות A ו-B בלתי תלויים אם עבור כל i,j מתקיים: .

דוגמא: נגדיר A כצבע שיער ו-B עיר מגורים. אם אחוז הג'ינג'ים בת"א זהה לאחוז הג'ינג'ים בי-ם , זהה לאחוז הג'ינג'ים בכל עיר, וכנ"ל לגבי בלונדינים , אדמוניים וכו', אזי צבע השיער ועיר המגורים הם משתנים בלתי תלויים.