יחידה 13: רווח בר-סמך  >> 13.1: בניית רווח בר-סמך

רווח בר-סמך לממוצע האוכלוסייה

Confidence interval

עקרון בניית רווח בר-סמך הינו בעצם מעבר מאומדן נקודתי לאומדן של פרמטר המבוסס על טווח של ערכים.

בשלב זה אנו נעסוק בבניית רווח בר-סמך לממוצע האוכלוסייה, אך ניתן לבנות רווח בר-סמך לכל פרמטר אפשרי.

העיקרון של רווח בר-סמך שונה מהותית מזה של בדיקת השערות. בבדיקת השערות אנו שואלים את השאלה: בהינתן  נכונה (כלומר התפלגות אוכלוסייה כלשהיא), מהו הסיכוי לקבלת מדגם קיצוני מזה שדגמנו. אם נדחה את , נחליט שהמדגם לקוח מאוכלוסייה בעלת ממוצע שונה/גדול/קטן מזה של האוכלוסייה הנתונה. אם לא נדחה את , לא נוכל לומר דבר.

בבניית רווח בר-סמך, המטרה מראש היא לתת אומדן לממוצע האוכלוסייה ממנה יכול היה להילקח המדגם שבידנו.

עתה נעבור על השלבים בבניית רווח בר-סמך:

עבור כל משתנה המתפלג נורמלית באוכלוסייה, ניתן לומר ש:   .

  הינו ערך ה-Z שהשטח שמעליו הוא

לדוגמא: .

כלומר, שבין שני ערכי Z אלו נופלים 95% מההתפלגות:

כזכור, אם  x מתפלג בצורה כלשהי עם ממוצע   וסטיית תקן , נהוג לרשום זאת בצורה , כאשר הסימן ~ משמעו "מתפלג", הערך הראשון בסוגריים מסמן את הממוצע ,ואילו הערך השני את סטיית התקן.  ניתן לבנות על סמך אוכלוסייה זו התפלגות דגימה של ממוצעים עבור n גדול מספיק (מעל ל-30), ואז התפלגות הדגימה תהיה בקירוב נורמלית עם הפרמטרים הבאים: , כאשר  .

אם בכל התפלגות נורמלית ניתן היה לומר ש:  ,

אזי בפרט גם עבור התפלגות הדגימה של הממוצעים ניתן לומר כי  .

עתה נציב במקום  את נוסחתו   :   .

נבודד את  ונציב אותו במרכז אי-השוויון, ונמצא שבהסתברות של  ערך ה-  ינוע בין:

מכאן שאם דוגמים מדגם בודד בגודל n מאוכלוסייה מסוימת, ניתן לדעת מהו הטווח בו נמצא ממוצע האוכלוסייה  ממנה הוא נדגם, ברמת בטחון רצויה .

מבנה השאלה הבסיסית עליה עונה רווח בר-סמך  היא: "ברמת בטחון של , מהו ממוצע האוכלוסייה ממנה נדגם המדגם?".

זוהי נוסחתו הכללית של רווח בר-סמך: 

בנוסחא זו נשתמש לאורך כל השנה, ובהתאם לצורת התפלגות הדגימה בה נעסוק, נחליף את הערכים הקריטיים של ההתפלגות ואת סטיית התקן – כל זאת בהמשך....

► חזור                    המשך ◄