יחידה 10: התפלגות הדגימה  >> 10.1: סטטיסטים של מדגם כאומדנים

סטטיסטים של מדגם כאומדנים

 

בסטטיסטיקה היסקית, אחת המטרות היא לאמוד באמצעות סטטיסטים את הפרמטרים של האוכלוסייה. וזאת משום שאין לנו דרך למדוד בפועל את הפרמטרים של האוכלוסייה.

רצוי שאומדנים אלו יהיו:

- חסרי הטייה ((unbiased

- יציבים (consistent)

- יעילים (efficient)

אומד חסר הטייה, הוא אומד שתוחלתו שווה לפרמטר האוכלוסייה. לדוגמא,  הוא אומד חסר הטיה ל- , כיוון ש:  . 

 

יציבות: ככל שגודל המדגם גדל, כך גדל הסיכוי שערך הסטטיסטי יהיה קרוב לערך הפרמטר.

 

יעילות האומדן גדלה ככל ששונות האומדן קטנה. סטטיסטי יעיל הוא סטטיסטי אשר יהיה פחות או יותר יציב כאשר נחשב אותו במדגמים שונים.

לדוגמא:

אם נדגום מדגם של 10 אנשים מתוך אוכלוסיית תל אביב, סביר להניח שממוצע גילם לא יהיה זהה לזה של כלל אוכלוסיית ת"א. כמו כן אם נדגום מדגם נוסף, נצפה שהממוצע שלו יהיה שונה מזה של המדגם הראשון.

נקודה עיקרית בסטטיסטיקה הסקית היא עד כמה ממוצעי מדגמים שונים אחד מהשני, ועד כמה ערכי סטטיסטיים אלו יהיו שונים מפרמטר האוכלוסייה .

דוגמא לאומדנים: ממוצע וסטיית תקן

 

נניח שיש לנו אוכלוסייה המורכבת מ-3 פריטים זהי הסתברות: 1,2,3

 

P(x)

X

1

2

3

 

 

נניח שאנו דוגמים מדגם בגודל 1 עם החזרה מהתפלגות זו. נחשב את ממוצע המדגמים האלו ע"י חישוב תוחלת. לכל מדגם שנדגום יש אפשרות לממוצע אחר: 1,2,3 בהסתברות שווה של 0.33:

 

עתה נחשב את שונות המדגם לפי הנוסחא ששונות שווה לתוחלת הפריטים בריבוע פחות ריבוע התוחלת: :

 

 

השונות היא: 


 

נניח עתה שאנו דוגמים (עם החזרה) 2 פריטים מאוכלוסייה זו ומחשבים ממוצע ביניהם. התוצאות האפשריות הן:

 

ממוצע

פריט 2

פריט 1

1

1

1

1.5

2

1

2

3

1

1.5

1

2

2

2

2

2.5

3

2

2

1

3

2.5

2

3

3

3

3

 

 

אם נסכם את ממוצעי המדגמים בגדול 2 שדגמנו בטבלת שכיחויות, נקבל את השכיחות היחסית לממוצעי מדגמים:

 

שכיחות יחסית

שכיחות

ממוצע

0.111

1

1

0.222

2

1.5

0.333

3

2

0.222

2

2.5

0.111

1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

עתה ניתן לחשב את התוחלת של ממוצעי מדגמים בגודל 2 מתוך אוכלוסיה זו לפי השכיחות היחסית של כל ממוצע, דהיינו ההסתברות להתרחשותם כפול ערך הממוצעים:

 

עתה ניתן לחשב את השונות:

 

השונות של מדגמים בגודל 2 היא 0.33 בעוד שהשונות של מדגמים בגודל 1 הייתה 0.67.

 

 

מה קרה?

1.      הממוצע נשאר זהה – הממוצע הוא אומד בלתי מוטה.

2.      השונות קטנה ככל שהמדגם גדל.

3.      ההתפלגות נעשית "פעמונית".

► חזור                    המשך ◄