תקצירי ההרצאות ומקורות:
פרופ' דויד גילת: הבעיה השלישית של הילברט ופתרונה - הבדל מהותי מפתיע בין שטח לנפח
מבין 23 הבעיות שהציג Hilbert בקונגרס הבינלאומי השני למתמטיקה שהתקיים בפריס בשנת 1900, זכתה הבעיה השלישית לפתרון המהיר ביותר, כמעט מיידי, על ידי תלמידו Max Dehn. בהציגו אינווריאנטה (שמורה) מתוחכמת של חפיפה בחלקים, הוכיח Dehn שטטראדר משוכלל וקוביה אינם חופפים בחלקים גם אם הם שווי נפח, כלומר, אי אפשר לחלק את הטטראדר למספר סופי של פאונים (גופים פוליאדריים) ולהרכיב מהם את הקוביה. תוצאה זו עומדת בניגוד מוחלט למצב הדברים במישור שבו, על פי משפט של Bolyai & Gerwien מ-1833, שני מצולעים שווי שטח חופפים בחלקים (עם חלקים שהם עצמם מצולעים).
כאשר מרשים פירוק לחלקים כלליים ללא אילוצים מבניים, מועצם עוד יותר ההבדל המהותי בין מידת השטח במישור לבין מקבילתה, הנפח, במרחב התלת מימדי. בעוד שבמישור כל שתי צורות שוות שטח (בעלות שפה "סבירה" כמו, למשל, עיגול ורבוע) הן חופפות בחלקים (זו תוצאה מרחיקת לכת של Miklos Laczkovich שהוכחה ב-1990. את המקרה הפרטי של "רבוע העיגול" הוכיח לצ'קוביץ' כ-10 שנים מוקדם יותר במענה לשאלה שעורר Tarski ב-1925), הרי במרחב (תלת או יותר מימדי) קיימת התופעה המפתיעה הידועה כ"פרדוקס שלHausdorff, Banach & Tarski משנות ה-20 של המאה הקודמת, שלפיה (אל תפלו מהכסא) כל כדור חופף בחלקים לכל כדור אחר. כן, כן, בעיקרון קיימת חלוקה של, למשל, כדורגל למספר סופי של חלקים שמהם ניתן להרכיב כדור בגודל כדור-הארץ שלנו. הסוד של תופעה לכאורה אבסורדית זו הוא באופיים של ה"חלקים" שהם בהכרח קבוצות מאד מסובכות, עד כדי כך מסובכות שעקרונית אין כלל אפשרות ליחס להן מידת נפח באופן קונסיסטנטי. הרצאתי תתמקד במשפט Bolyai & Gerwien ובפתרון של Dehn לבעיה השלישית של הילברט. אם הזמן יאפשר, נדון בקצרה בהתפתחויות המאוחרות יותר.
מקורות:
· V.G. Boltyanskii, Equivalent and Equidecomposable Figures, Published by Heath & Company Boston for the Chicago University Math. Dept, 1963.
· Miklos Laczkovich, CONJECTURE and PROOF, Math. Assoc. of America (MAA), 2001.
פרופ' דויד לוין: גיאומטריה על כדור
נבחן את ההבדלים בין גיאומטריה במישור לבין גיאומטריה על פני כדור ונבדוק כיצד
מחשבים מרחקים, זויות ושטח משולש על כדור.
נראה שסכום הזויות במשולש אינו קבוע, אלא תלוי בשטח המשולש.
נציץ גם לטריגונומטריה על כדור ונברר כיצד נראים משפט הסינוס ומשפט הקוסינוס על כדור.
מקורות:
· Henderson, D.W. Experiencing Geometry: On Plane and Sphere. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1995.
ד"ר רות הלר :הסקה סיבתית - מטעימות תה ועד לחיסוני פוליו
ניסויים ומחקרים תצפיתיים נערכים בכדי להחליט האם הגורמים הנחקרים משפיעים על התוצאה. בהרצאה זו נדון בעקרונות התכנון והניתוח של ניסויים ומחקרים תצפיתיים. נדון בתפקיד המרכזי של ההקצאה האקראית בהסקה סיבתית. נראה דוגמאות של ניסויים שנערכו לבדיקת יעילות חיסון נגד פוליו ויעילות תרופה מונעת לבעיות לב, ומחקרים תצפיתיים שנערכו לבדיקת נזקי העישון ונזקי מים מזוהמים.
מקורות:
· Fisher, R.A, The design of experiments. Edinburgh: Oliver and Boyd, 1935.
· Rosenbaum, P. Observational studies. Springer, 2002.
ד"ר ערן שמעיה: בחירות – מבט מתמטי
הצבעה טקטית״, להבדיל מ״הצבעה כנה״ היא מה שאנחנו עושים כאשר הפתק ששמים בקלפי לא משקף נכון את ההעדפות האמיתיות שלנו בגלל שפתק אחר עשוי להביא תוצאה טובה יותר מבחינתנו מאשר הצבעה כנה. יש הרבה סיבות להצבעה טקטית — בבחירות ישירות שבהן למועמד החביב עלינו גם ככה אין סיכוי לנצח עדיף כבר להצביע לרע במיעוטו. מצד שני, בבחירות שבהן שני המועמדים המובילים עולים לסיבוב שני, אם כבר בטוחים שהמועמד שלנו הולך לעלות לסיבוב הבא, כדאי להצביע למועמד עלוב במיוחד לסיבוב השני. בחירות יחסיות גם הן סובלות מהצבעות טקטיות כמו שיודעים כל מי שהרהרו פעם אם להצביע למפלגה שמתנדנדת על סף אחוז החסימה. כמובן כל שיטת בחירות יוצרת תמריצים אחרים להצבעות טקטיות. בהרצאה נראה כיצד להגדיר פורמלית מונחים כמו שיטת בחירות, הצבעה טקטית, תמריצים, הצבעה כנה. מצוידים בהגדרות האלה ננסה לענות על השאלה האם קיימות שיטות בחירות שאינן מעודדות הצבעות טקטיות ?
מקורות:
· Saari, Donald. Chaotic elections!: A mathematician looks at voting American Mathematical Soc., 2001.
· Mark A. Satterthwaite, Strategy-proofness and Arrow's Conditions: Existence and Correspondence Theorems for Voting Procedures and Social Welfare Functions, Journal of Economic Theory 10: 187-277, 1975.
· Allan Gibbard, Manipulation of voting schemes: a general result. Econometrica (4)41, 1973.
פרופ' אילון סולן: שידוכים יציבים
בהרצאה זו אציג את נושא תורת המשחקים תוך מתן דגש לאחד היישומים החשובים שלו - שידוכים יציבים. תחום זה מיושם בהצלחה בארצות הברית ובבריטניה להשמת סטודנטים לרפואה בהתמחויות, ואחד היישומים שנבדקים לו בתקופנ נאחרונה הוא התאמה בין תורמי כליות לנזקקים להשתלה.
בהרצאה אציג את המודל של שידוכים יציבים, אגדיר את המושגים "שידוך", "ערעור על שידוך" ו-"שידוך יציב", אתאר את אלגוריתם גייל-שפלי המוצא שידוך יציב ואוכיח כי האלגוריתם אכן מוצא שידוך כזה. אתאר את "תהליך חיזור הגברים" ואת "תהליך חיזור הנשים", אעמוד על ההבדלים בין השידוכים היציבים שהם מוצאים ואדון ביחס הסדר בין השידוכים היציבים. אסביר מה קורה כאשר סטודנט אינו מעוניין בכל המשרות המוצעות, ומה קורה כאשר בית חולים מציע יותר ממשרה אחת. בנוסף, נראה שקבוצת כל הסטודנטים שנותרים ללא עבודה אינה תלויה בשידוך היציב שנבחר, ונעמוד על ההבדלים בין אוכלוסייה דו-מינית לאוכלוסייה חד-מינית, כגון זו המתקבלת כאשר מצוותים שוטרים לניידות או סטודנטים לחדרים במעונות.
מקורות:
· "תורת המשחקים" מאת שמואל זמיר, מיכאל משלר ואילון סולן, הוצאת מאגנס, 2008.
ד"ר ברק וייס: הפרבולה, קרובת המשפחה הנשכחת של העיגול וקרובי משפחה אחרים:
הפרבולה היא אחת מחתכי חרוט, משפחה של צורות גיאומטריות הכוללות גם את האליפסה, המעגל וההיפרבולה. צורות אלה נחקרו בימי קדם ביוון העתיקה וחלק מהבעיות בהן הן מופיעות (כגון חישוב מסלולי תנועה של כוכבים) ממשיכות להחקר עד היום. בהרצאה אספר על הצורות האלה, מופעיהן בטבע ושימושים.
· עמוס אלטשולר, חתכי החרוט בשיטה סינטטית, על"ה - עלון למורי המתמטיקה, גיליון 9, ספטמבר 1991.
פרופ' שירי ארטשטיין-אבידן: גיאומטריה במימדים גבוהים
איזה אחוז מהשטח על שפתו של כדור נמצא קרוב מאד לקו המשווה? מסתבר שבמימדים גבוהים, כמעט כולו. לתופעה זו, שנקראת "ריכוז מידה", השפעות רבות על הגיאומטריה של מימדים גבוהים. נדון בתופעה זו ובתופעות אחרות הייחודיות למימדים גבוהים, נשאל איזו מין גיאומטריה אפשר ללמוד במרחבים ממימד גבוה, ואילו אתגרים עומדים כיום בפני חוקרים העוסקים בתחום זה.
מקורות:
· K.M. Ball Volumes of sections of cubes and related problems Lecture Notes in Mathematics 1376, Springer, Berlin, 251-260, 1989.
· K.M. Ball An elementary introduction to modern convex geometry, Flavors of Geometry, Math. Sci. Res. Inst. Publ. 31, Cambridge Univ. Press, 1997.
· R. J. Gardner The Brunn-Minkowski inequalityת Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 39 (2002), 355-405.
· R. J. Gardner Geometric Tomography, Second Edition Encyclopedia of Mathematics and its Applications 58, Cambridge University Press, Cambridge, 2006.
· A.A. Giannopoulos and V.D. Milman Euclidean structure in finite dimensional normed spaces, Handbook of the Geometry of Banach spaces (Lindenstrauss-Johnson eds), Elsevier 707-779, 2001.
· A.A. Giannopoulos and V. D. Milman Asymptotic convex geometry: short overview, Different faces of geometry, 87-162, Int. Math. Ser. 3, Kluwer/Plenum, New York, 2004.
· R. Schneiderת Convex Bodies: The Brunn-Minkowski Theory,
Second expanded edition. Encyclopedia of Mathematics and
Its Applications 151, Cambridge University Press, Cambridge, 2014.
ד"ר ירון אוסטרובר: גיאומטריה לא אוקלידית וגורל היקום
בהרצאה זו נסקור בקצרה מספר התפתחויות היסטוריות של המושג "גיאומטריה", החל מתקופתו של אוקלידס ועד ימינו. בפרט, נדון בגיאומטריות לא-אוקלידיות (גיאומטריה ספרית וגיאומטריה היפרבולית), ובתפקיד המפתיע שהן ממלאות בפיסיקה מודרנית.
מקורות:
· Euclid, Translators Language: Ancient Greek, The Elements, Euclidean geometry, elementary number theory, 300 BC.
· Milnor, John W., Hyperbolic geometry: The first 150 years, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 6, Number 1, pp. 9–24, 1982.
· Coxeter, H. S. M., Non-Euclidean geometry, University of Toronto Press, Toronto, 1942.
ד"ר ענת סאקוב: מציאת התרופה הבאה - סטטיסטיקה בתעשיית התרופות
תהליך פיתוח תרופת מקור (חדשנית) יכול לקחת כ- 15 שנים, מתוכן לא מעט שנים בניסויים קליניים. בשלבים המתקדמים של הניסויים הקליניים משתתפים מאות עד אלפי חולים בעשרות מרכזים רפואיים בעולם לתקופה לא קצרה בניסוי שעלותו עשרות רבות של מיליוני דולרים. לתכנון הניסוי יש חשיבות רבה עם אתגרים לא פשוטים. בהרצאה זו תינתן סקירה של מספר עקרונות ושיטות סטטיסטיים וכיצד הם באים לידי ביטוי בתכנון הניסויים הקליניים וניתוח התוצאות.
פרופ' סהרון רוסט: מה זה סטטיסטיקה ומה עושים עם זה?
אציג את עיקרי תהליך ניתוח הנתונים הסטטיסטי ואדגים את הפוטנציאל של סטטיסטיקה לעזור לנו בחיי היום יום: למצוא בן זוג, להרוויח מיליון דולר, ללמוד על ההיסטוריה של העולם ושל כל אחד מאיתנו.
מקורות:
· "מה נשים רוצות?" עבודת סיום בקורס מבוא לסטטיסטיקה מאת ליעד שקל ופליקס קליכמן, 2008.
· DeVeaux and Vellerman, Intro Stats, by Pearson, 2004.
· Netflix prize winner reports.
· Menozzi, P., Piazza, A. and Cavalli-Sforza, Synthetic Maps of Human Gene Frequencies in Europeans, L. Science 201 786-792, 1978.
ד"ר יואל שקולניצקי: עולם של הרמוניות - טורי פורייה ויישומיהם.
התמרת
פורייה הינה
הפעולה
המתמטית אשר
מאפשרת לפרק
אות לצלילים
היסודיים
המרכיבים אותו.
בהרצאה זה
נלמד מהם
צלילים
יסודיים אלה,
ונראה שניתן
להגדיר את
הצלילים
היסודיים גם
עבור תמונות,
ולמעשה עבור
משפחה רחבה
מאוד של פונקציות.
נתוודע
לתכונות
וליתרונות
שבהתמרת פורייה
ונראה
שימושים שלה
במגוון
יישומים בעיבוד
אות/תמונה. כך
למשל נראה
כיצד להשתמש
בה לניקוי
רעשים מקטעי
מוזיקה, וכיצד
היא מהווה את הבסיס
לדחיסת JPEG.
מקורות:
· Athanasios Papoulis, Signal Analysis, Mcgraw-Hill College, 1977-05.
פרופ' הלל טל-עזר: המתמטיקה של Google
בסוף שנות ה 90, שני סטודנטים במחלקה למדעי המחשב באוניברסיטת סטנפורד עבדו על הדוקטורט שלהם. הם נתנו את השם Google לעבודת זו. עבודתם עסקה במנועי חיפוש באינטרנט. כמעט כל מנוע חיפוש אינטרנטי מבוסס על יצירת אינדקס שבו העמודים ברשת מסודרים לפי סדר חשיבות. הגישה המקובלת באותה תקופה היתה דמוקרטית – חשיבות של עמוד נקבעת לפי מספר העמודים ברשת שמצביעים עליו. שני סטודנטים אלו טענו שמשהו פה לא בסדר. החשיבות של עמוד צריכה לקחת בחשבון גם את החשיבויות של העמודים שמצביעים עליו ולא רק את מספרם (יתכן ששאבו את רעיונם מוועדות מינויים אוניברסיטאיות). הם פיתחו אלגוריתם מתמטי למציאת חשיבויות של עמודים ברשת וקראו לו pagerank. בהרצאה נתאר את האלגוריתם העומד מאחורי ההצלחה הפנומנאלית של Google על יתרונותיו וחולשותיו (שיתכן ותוקנו בינתיים).
מקורות:
· Lars Elden, Matrix Methods in Data Mining and Pattern Recognition, SIAM, Philadelphia, PA, 2007.
· L. Page, S. Brin, R. Motwani and T. Winograd, PageRank Citation Ranking: Bringing Order to the Web, Technical Report, Stanford InfoLab, 1998.
· Sergey Brin, Lawrence Page, The Anatomy of a Large-Scale Hypertextual Web Search Engine, Seventh International World-Wide Web Conference (WWW 1998).
ד"ר ליאור ברי-סורוקר: כמה מספרים ראשוניים יש
מאז ומעולם, המספרים הראשוניים, מספרים המתחלקים רק בעצמם ובאחד (ואינם אחד), סיקרנו את האנושות. במשך אלפי שנים נחשב המחקר סביב הראשוניים כמחקר תאורטי (אולי הכי תאורטי) אשר אין ולא יהיו לו כל השלכות על העולם הגשמי.
אולם עם פיתוח המחשבים, תזה זו קרסה לחלוטין, כשתורת המספרים הראשוניים משמשת כיום ככלי ראשון במעלה בהצפנה ובאבטחת מידע.
בהרצאה זו נדבר על השאלה המעניינת ביותר: כמה מספרים ראשוניים יש?
מקורות:
· David E. Joyce Euclid's Elements, Book IX, 1996.
· Hardy, G. H.; Wright, E. M. , An introduction to the theory of numbers. Sixth edition. Revised by D. R. Heath-Brown and J. H. Silverman. With a foreword by Andrew Wiles. Oxford University Press, Oxford. Xxii +621 pp. ISBN: 978-0-19-921986-5 11-01, 2008.
· Maynard, James. "Small gaps between primes." arXiv preprint arXiv: 1311.4600, 2013.
· Pollack, P. (n.d.). Not Always Buried Deep: A Second Course in Elementary Number Theory. American Mathematical Soc., 2009.
ד"ר גלית אשכנזי: קבלת החלטות בסביבה אסטרטגית.
מהי חשיבה אסטרטגית, ומהו האתגר שהיא מציבה?
כיצד צפוי שאנשים ינהגו במצב אסטרטגי?
כיצד מתכננים מנגנון שיגרום לאנשים להתנהג באופן רצוי?
וכיצד משיבים טבעת לבעליה?
פרופ' מיכה שריר:גיאומטריה קומבינטורית – המורשת של פול ארדש
בקבוצה של N נקודות במישור, כמה זוגות לכל היותר יהיו במרחק 1 בדיוק זו מזו? ובכמה אפשרויות לכל היותר ניתן להפריד K מהנקודות משאר הקבוצה ע"י קו ישר? שאלות אלה, ורבות אחרות, שניסוחן פשוט ופתרונן "תקוע" כבר עשרות שנים, הן חלק מהמורשת של פול ארדש, מגדולי המתמטיקאים במאה העשרים, בתחום הגיאומטריה הקומבינטורית. בהרצאה נציג מגוון של בעיות אלה, ונתאר כמה גישות ושיטות לפתרונן. נעמוד גם על הקשר בין בעיות אלה לבעיות אלגוריתמיות בגיאומטריה חישובית ונסקור (ממעוף הציפור) את ההתפתחויות העיקריות בתחום הקש